3 A MODELAÇÃO MATEMÁTICA COMO METODOLOGIA DE ENSINO
A Modelação Matemática como método de ensino tem sua essência na Modelagem Matemática, que por sua vez, segundo BIENBEMGUT (1997, p. 34), {...} é a arte de transformar situações do meio circundante em modelos matemáticos.
Esta parte do trabalho apresentará um breve exposição sobre Modelo Matemático, Modelagem Matemática, Modelação Matemática e Pré-Modelação.
O termo modelo foi introduzido na Matemática no último Século com a descoberta das geometrias não euclidianas de Riemann e Lobachewski. Entretanto, antes disso, pode-se encontrar Modelos Matemáticos nos trabalhos que envolviam conceitos como função, números naturais, conjuntos, entre outros. Atualmente, o termo Modelo Matemático é amplamente utilizado no circuito acadêmico. Novamente, vale a pena lembrar Mário Henrique Simonsen que, segundo CARNEIRO (1997) {...} foi o economista mais completo que tivemos com a maior capacidade de construção de modelos matemáticos. Possuía uma capacidade singular de formular modelos e foi dono de uma produção científica muito grande e de excepcional qualidade. Atualmente o termo modelo matemático tem diversas conotações e algumas poucas definições . Abaixo são apresentadas algumas das definições pesquisadas:
Modelo Matemático é um sistema axiomático consistindo de termos indefinidos que são obtidos pela abstração e qualificação de idéias essenciais do mundo real. (MAKI e THOMPSOM, 1973, p. 14, GAZZETTA).
Modelo matemático é uma estrutura Matemática que descreve aproximadamente as características de um fenômeno em questão. (SWETZ, 1992, p. 65, GERTNER).
O Modelo Matemático é uma imagem que se forma na mente, no momento em que o espírito racional busca compreender e expressar de forma intuitiva uma sensação, procurando relacionar com algo já conhecido, efetuando deduções. (GRANJER,1997, p. 78, BIEMBENGUT).
Um conjunto de símbolos e relações matemáticas que traduz ,de alguma forma, um fenômeno em questão ou um problema de situação real, é denominado de Modelo Matemático. (BIEMBENGUT, 1997, p. 89).
Modelo matemático de um fenômeno, é um conjunto de símbolos e relações matemáticas que traduzem de alguma forma, o fenômeno em questão. (BASSANEZI, 1997, p. 65).
Verifica-se então, que no contexto abordado, a definição de BIEMBEGUT é a mais adequada para explicar o Modelo Matemático, pois no seu entender, esses modelos podem ser formulados em termos familiares, tais como, expressões numéricas ou fórmulas, diagramas, gráficos ou representações geométricas, equações algébricas tabelas, e outros. Também afirma que um modelo é proveniente de aproximações realizadas para se poder entender melhor um fenômeno e, nem sempre , tais aproximações condizem com a realidade. Seja como for, um Modelo Matemático retrata ainda em uma visão simplificada, aspectos da situação pesquisada.
A seguir são destacados alguns dos objetivos estabelecidos para a construção de um Modelo Matemático propostos por DAVIS e HERSH(1985):
1) obter respostas sobre o que acontecerá no mundo físico;Desta forma, pode-se notar que os caminhos para se chegar a um Modelo Matemático não são muito simples, alguns esforços deverão ser feitos para se chegar a melhor representação matemática. E a determinação do tipo de modelo a ser utilizado dependerá da situação analisada, das variáveis selecionadas e dos recursos disponíveis. Para se chegar ao Modelo Matemático tem-se que passar por um processo denominado Modelagem Matemática. A seguir são as características e objetivos principais deste processo.2) influenciar a experimentação ou as observações posteriores;
3) promover o progresso e a compreensão conceituais;
4) auxiliar a axiomatização da situação física; e,
5) incentivar a Matemática e a arte de fazer modelos Matemáticos.
A modelagem não é uma novidade deste Século, pois desde os tempos mais remotos o indivíduo procura resolver os problemas de sua existência com os recursos que o próprio meio em que vive oferece, buscando para isso conhecê-lo e compreendê-lo.
A Modelagem Matemática, por sua vez, tem sido aplicada com maior intensidade nas últimas décadas. Segundo KAPUR (1982), o interesse mundial em Modelagem Matemática tem sido crescente, devido principalmente, aos problemas de defesa e situações-problemas das indústrias.
Para melhor esclarecer o conceito de Modelagem Matemática apresentar-se-á a seguir algumas das definições encontradas na literatura consultada.
A Modelagem matemática é um processo dinâmico de busca de modelos adequados, que sirvam de protótipos de alguma entidade. (BASSANEZI, 1994, p. 45).
Segundo D’AMBRÓSIO (1986), o indivíduo é parte integrante e ao mesmo tempo, observador da realidade. Sendo que ele recebe informações sobre determinada situação e busca, através da reflexão, a representação dessa situação em grau de complexidade. Para se chegar ao modelo é necessário que o indivíduo faça uma análise global da realidade na qual tem sua ação, onde define estratégias para criar o mesmo, sendo esse processo caracterizado de modelagem.
Para BIEMBENGUT (1997), Modelagem Matemática é o processo envolvido na obtenção de um modelo. Podendo, sob alguns aspectos, ser considerado um processo artístico, pois para elaborar um modelo, além de conhecimento apurado de Matemática, o modelador deve ter uma dose significativa de intuição e criatividade para interpretar o contexto, discernir que conteúdo matemático melhor se adapta e senso lúdico para jogar com as variáveis envolvidas.
BIEMBENGUT (1997, p. 65), também propõe que a modelagem é um meio para integrar dois conjuntos disjuntos: matemática e realidade. Apresenta o seguinte esquema para representar essa proposta:
Todos os autores citados se referem a Modelagem Matemática como um processo de traduzir a linguagem do mundo real para o mundo matemático. Mas para que isto ocorra, uma série de procedimentos devem ser realizados. BIEMBENGUT (1997), agrupa e identifica esses procedimentos em três etapas, subdivididas em cinco subetapas.
1) 1ª etapa: Interação com o assuntoNesta etapa, a situação a ser estudada será delineada e para torná-la mais clara deverá ser feita uma pesquisa sobre o assunto escolhido através de livros, revistas especializadas e através de dados obtidos junto a especialistas da área.a) reconhecimento da situação problema.;
b) familiarização com o assunto a ser modelo - pesquisa
2) 2ª etapa: MatematizaçãoPara BIEMBENGUT (1997), esta é a fase mais complexa e desafiadora, pois é nesta que se dará a tradução da situação problema para a linguagem matemática. Assim, intuição e criatividade são elementos indispensáveis.a) formulação do problema - hipótese
b) resolução do problema em termos do modelo
Para formular e validar as hipóteses considera necessário :
b) decidir quais os fatores a serem perseguidos - levantando hipóteses ;
c) identificar constantes envolvidas ;
d) generalizar e selecionar variáveis relevantes ;
e) selecionar símbolos apropriados para as variáveis ; e,
f) descrever esta relações em termos matemáticos.
3) 3ª etapa: Modelo MatemáticoPara a conclusão e utilização do modelo será necessária uma checagem para verificar em que nível este se aproxima da situação-problema apresentada. Assim, a interpretação do modelo deve ser feita através de análise das implicações da solução, derivada do modelo que esta sendo investigado, para então, verificar sua adequabilidade, retornando à situação problema investigada, avaliando o quão significativa é a solução. Se o modelo não atender às necessidades que o gerou, o processo deve ser retomado para a 2ª etapa, mudando hipóteses variáveis, e outros. Porém, para a utilização do processo de Modelagem Matemática em cursos regulares, objeto deste estudo, o método deve sofrer algumas alterações levando em consideração o grau de escolaridade dos alunos, o tempo disponível que terão para o trabalho de classe, o programa a ser cumprido e a abertura por parte da comunidade escolar para implantar mudanças. Além disso, o professor deve ter conhecimento seguro sobre modelagem e para tanto, deve realizar um estudo sobre a respectiva metodologia, elaborar alguns modelos e já ter experiência da proposta no ensino.a) interpretação da solução - validação.
A seguir apresentar-se-á o método que utiliza a essência da Modelagem Matemática, porém, com adaptações para os cursos regulares, denominado de Modelação Matemática.
BIEMBENGUT (1997, p. 89), em sua tese de doutorado, define Modelação Matemática como {...} um método que usa a essência da Modelagem Matemática para ensinar, em cursos que tem o programa (currículo) pré determinado. Ainda afirma que, este método diferencia-se da Modelagem no ensino, pois utiliza-se de um único tema para extrair o conteúdo programático.
Para a Modelação Matemática, o mais importante não é a obtenção do modelo, mas o caminhar pelas etapas de onde vão emergindo os conteúdos matemáticos. Segundo BIEMBENGUT (1997), o método abrange três momentos:
1) Justificativa do Processo
Nesse momento, o professor justifica o processo, expondo o interesse no processo de aprendizagem e procurando motivar os alunos para que voluntariamente decidam por um desenvolvimento ativo do aprendizado, tornando-se co-responsáveis pelo ensino-aprendizagem.
2) Escolha do Tema
O professor e aluno devem sugerir temas. Contudo, caberá ao professor usar estratégias que facilitem aos alunos a escolha de um tema abrangente, motivador e sobre o qual, de certa maneira, seja fácil obterem-se dados e informações.
3) Desenvolvimento do conteúdo
Esta fase é semelhante à do curso de modelagem, não esquecendo que agora existe um conteúdo programático e cabe ao professor fazê-lo fluir a partir do tema. Para que isso ocorra, o professor pode fazer a primeira questão ou propor aos alunos que dêem sugestões do que se possa estudar ou propor que os próprios levantem questões. Desta forma, o professor poderá levantar a situação mais adequada para desenvolver o conteúdo programático.
O professor pode seguir os seguintes procedimentos (BIEMBENGUT -1997):
a) propõe aos alunos que façam uma breve pesquisa e a partir desta, uma síntese;Solicite aos alunos que analisem o resultado obtido com duplo objetivo:b) propõe que façam questionamentos sobre o assunto ou sugestões do que se possa estudar;
c) determine, face ao que o aluno desconhece, o conteúdo matemático a ser desenvolvido e qual a questão a ser resolvida primeiro;
d) passe a desenvolver o conteúdo programático;
e) propõe, nesse momento, exemplos análogos para que o conteúdo não se restrinja ao modelo.
a) apliquem e exercitem o conteúdo;A figura 03 apresenta o esquema proposto por BIEMBENGUT (1997), mostrando a dinâmica do processo.b) avaliem, criticamente, a validade do modelo.
Figura 03: Dinâmica do processo - esquema proposto por Biembengutt
Sendo que a ordem dos procedimentos está indicada pelos respectivos números:
1) Escolha do tema central a ser desenvolvido pelos alunos;Além disso, o professor deve procurar manter um clima de certa liberdade e descontração, estimulando a participação e a criatividade individual. Desta forma, poderá obter resultados satisfatórios em relação ao aprendizado de Matemática.2) Pesquisa para coletar dados quantitativos e informações que possam auxiliar a apresentação de hipóteses;
3) Elaboração de problemas que serão distribuídos para os grupos de interesses comuns;
4) Abstração no sentido de selecionar as variáveis essenciais envolvidas no problemas e formular hipóteses;
5) Sistematização dos conceitos que serão usados na resolução dos modelos Matemáticos e que fazem parte do conteúdo programático do curso em questão. Deve ser efetuada, também enquanto se trabalha na resolução e formalização dos Modelos.
6) Interpretação da solução de maneira analítica e com possíveis representações gráficas;
7) Validação dos modelos que devem ser os mais coerentes possíveis com a realidade pesquisada. Caso o Modelo não seja adequado, o sistema deve ser retomado com novas pesquisas, tornando assim o processo dinâmico;
8) Quando o Modelo é satisfatório deve-se procurar utilizá-lo fazendo previsões, análises, ou qualquer outra forma de ação sobre a realidade.
A maioria dos professores de Matemática possui uma formação acadêmica que pouco valoriza a relação entre a teoria e a prática. Dificultando desta forma, que se tenha uma visualização Matemática da realidade. Talvez esta seja a maior dificuldade encontrada pelos professores para trabalhar com Modelagem e Modelação Matemática.
Para amenizar esta situação BIEMBENGUT (1997, p. 55), sugere que os que não se sentem seguros para aplicar o método de Modelação Matemática, comecem por um trabalho de Pré- Modelação, que consiste em:
b) Aplicar trabalhos ou projetos realizados por colegas, por tempo curto, com uma única turma e de preferência aquela em que melhor domínio tem de Matemática;
c) Como trabalho extra classe, para os alunos, solicita-se que busquem exemplos ou tentem criar seus próprios modelos, sempre a partir da realidade.
É importante colocar que do ponto de vista cognitivo o processo de Modelação Matemática proposto por BIEMBENGUTT pode ser visto como uma maneira ergonômica de levar o aluno a construção do conhecimento , uma vez que o esquema apresentado na figura 03 tem uma relação bastante estreita com a Arquitetura Cognitiva (fig. 04) construída por RICHARD (1988), quando este procura fazer um estudo sobre as atividades mentais.
RICHARD (1988), define a Arquitetura Cognitiva apresentada na figura 04, como a
descrição dos diferentes elementos que constituem o sistema cognitivo e de suas relações. Esta arquitetura é considerada funcional pois desconhece-se as estruturas neuroanatômicas que correspondem a estes elementos e porque é uma descrição estática das diferentes funções do sistema cognitivo com o único fim de servir de base a uma descrição do funcionamento cognitivo.
Em seu trabalho RICHARD tem como objetivo fazer uma representação integrada do campo de atividades cognitivas finais . Segundo ele estas atividades estão ligadas à realização de tarefas e neste sentido , são orientadas por objetivos e se baseiam em uma representação da situação .São atividades que se encontram sob os termos: compreensão , raciocínio e resolução de problemas.
Neste contexto, o estudo de RICHARD vem reforçar a importância da Modelação Matemática como metodologia de ensino.
